Guía de estudio de funciones

1. ¿Qué es una función?

Una función es una relación entre dos magnitudes, donde a cada valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variable dependiente (y). Esto se representa como:

$$y = f(x)$$

2. Tipos de funciones

Polinómicas

Expresadas como una suma de términos con potencias de x. Ejemplos:

$$f(x) = 2x^2 – 3x + 5$$

$$g(x) = x^3 – 4x + 6$$

$$h(x) = 5x^4 – 2x^2 + 1$$

Racionales

Son cocientes de dos polinomios. Ejemplos:

$$f(x) = \frac{1}{x + 1}$$

$$g(x) = \frac{x^2 – 1}{x + 2}$$

$$h(x) = \frac{3x^3 + 2}{x^2 – 4}$$

Irracionales

Incluyen raíces. Ejemplos:

$$f(x) = \sqrt{x – 2}$$

$$g(x) = \sqrt[3]{x + 1}$$

$$h(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 4}$$

Exponenciales y logarítmicas

Exponenciales: La variable está en el exponente. Ejemplos:

$$f(x) = e^x$$

$$g(x) = 2^x$$

$$h(x) = 3^{x-1}$$

Logarítmicas: La variable es el argumento de un logaritmo. Ejemplos:

$$f(x) = \ln(x)$$

$$g(x) = \log_2(x)$$

$$h(x) = \log_{10}(x+3)$$

Trigonométricas

Involucran razones trigonométricas. Ejemplos:

$$f(x) = \sin(x)$$

$$g(x) = \cos(x)$$

$$h(x) = \tan(x)$$

Definidas a trozos

Usan distintas expresiones según el intervalo de la variable independiente. Ejemplos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{si } x < 0 \\ x^2, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

$$g(x) = \begin{cases} 2x, & \text{si } x \leq -1 \\ x^3, & \text{si } x > -1 \end{cases}$$

3. Propiedades de las funciones

Dominio

Conjunto de valores de x para los cuales la función está definida. Por ejemplo, en:

$$f(x) = \frac{1}{x}$$

el dominio excluye \(x = 0\).

Recorrido o Imagen

Conjunto de valores posibles de y que toma la función.

Simetría

• Función par: $$f(-x) = f(x)$$ (simétrica respecto al eje Y).
• Función impar: $$f(-x) = -f(x)$$ (simétrica respecto al origen).

Periodicidad

Algunas funciones, como las trigonométricas, repiten sus valores en intervalos regulares (periodo). Ejemplo:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$$

Puntos de corte

• Con el eje Y: Se calcula evaluando $$f(0)$$, si el 0 está en el dominio.
• Con el eje X: Son los valores de x donde $$f(x) = 0$$ (ceros de la función).

4. Pasos para el estudio completo de una función

1. Determinar el dominio:
   • Identificar valores de x donde la función no está definida (divisiones por 0, raíces de índice par con radicandos negativos, etc.).
2. Analizar la continuidad:
   • Detectar puntos donde la función tiene discontinuidades.
3. Examinar simetrías:
   • Comprobar si la función es par (\(f(-x) = f(x)\)) o impar (\(f(-x) = -f(x)\)).
4. Calcular puntos de corte con los ejes:
   • Resolver \(f(0)\) para el eje Y y \(f(x) = 0\) para el eje X.
5. Estudiar el signo:
   • Determinar intervalos donde \(f(x) > 0\) o \(f(x) < 0\).
6. Analizar derivadas (si corresponde):
   • Primera derivada: Estudiar crecimiento y decrecimiento.
   • Segunda derivada: Identificar concavidad y puntos de inflexión.
7. Trazar la gráfica:
   • Representar los resultados obtenidos de manera clara.